[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Wzór jest prawdziwy, jeżeli -1
wzory
symbole
Przykłady:
komentarze
1 1 1 1
1
1 + + + + · · · a1 = 1 q = S = = 21
1
1- 2
2 4 8 2 2
1
1 1 1 1 1 1
3
2
+ + + + · · · a1 = q = S = =
1
1- 4
2 6 18 54 2 3 3
1 1 1
8
8 - 4 + 2 - 1 + - + · · · a1 = 8 q = - S = = 51
1
3
1-(- )
2 4 2 2
Nieskończony ciąg geometryczny
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
5 4 8
15 + 5 + + · · · 2 + + + · · ·
3 5 25
Zamień ułamki okresowe dziesiętne na ułamki zwykłe
spis treści
0, (3) 2, (7) 0, (12) 0, 2(5)
wzory
symbole
komentarze
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
5
15 + 5 + + · · ·
3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
a1 = 15
wzory
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 · q
komentarze
5 = 15 · q / : 15
5
q =
15
1
q =
3
1
q = spełnia nierówności: -1
3
a1
Korzystamy z S =
1 - q
15 2 3 45 1
S = = 15 : = 15 · = = 22
1
1 - 3 2 2 2
3
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
4 8
2 + + + · · ·
5 25
RozwiÄ…zanie:
spis treści
a1 = 2
wzory
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 · q
komentarze
4
= 2 · q / : 2
5
4
q = : 2
5
4 1 4 2
q = · = =
5 2 10 5
2
q = spełnia nierówności: -1
5
a1
Korzystamy z S =
1 - q
2 3 5 10 1
S = = 2 : = 2 · = = 3
2
1 - 5 3 3 3
5
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, (3)
RozwiÄ…zanie:
spis treści
0, (3) = 0, 3333 . . .
wzory
symbole
= 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + · · ·
komentarze 3 3 3 3
= + + + + · · ·
10 100 1000 10000
Otrzymaliśmy nieskończony ciąg geometryczny
3
a1 =
10
3 1 3 1
· = dlatego q =
10 10 100 10
a1
Korzystamy z S =
1 - q
3
3 9 3 10 3 1
10
S = = : = · = =
1
1 - 10 10 10 9 9 3
10
1
Odp. 0,(3)=
3
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
2, (7)
RozwiÄ…zanie:
spis treści
2, (7) = 2, 7777 . . .
wzory
symbole
= 2 + 0, 7 + 0, 07 + 0, 007 + 0, 0007 + · · ·
komentarze 7 7 7 7
= 2 + + + + + · · ·
10 100 1000 10000
nieskończony ciąg geometryczny
7
a1 =
10
7 1 7 1
· = dlatego q =
10 10 100 10
a1
Korzystamy z S =
1 - q
7
7 9 7 10 7
10
S = = : = · =
1
1 - 10 10 10 9 9
10
7 7
2, (7) = 2 + = 2
9 9
Odp. 2, (7) = 27
9
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, (12)
RozwiÄ…zanie:
spis treści
0, (12) = 0, 121212 . . .
wzory
symbole
= 0, 12 + 0, 0012 + 0, 000012 + · · ·
komentarze 12 12 12
= + + + · · ·
100 10000 1000000
Otrzymaliśmy nieskończony ciąg geometryczny
12
a1 =
100
12 1 12 1
· = dlatego q =
100 100 10000 100
a1
Korzystamy z S =
1 - q
12
12 99 12 100 12
100
S = = : = · =
1
1 - 100 100 100 99 99
100
12
Odp. 0,(12)=
99
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, 2(5)
RozwiÄ…zanie:
spis treści
0, 2(5) = 0, 25555 . . .
wzory
symbole
= 0, 2 + 0, 05 + 0, 005 + 0, 0005 + 0, 00005 + · · ·
komentarze 2 5 5 5 5
= + + + + + · · ·
10 100 1000 10000 100000
nieskończony ciąg geometryczny
5
a1 =
100
5 1 5 1
· = dlatego q =
100 10 1000 10
a1
Korzystamy z S =
1 - q
5
5 9 5 10 5 1
100
S = = : = · = =
1
1 - 100 10 100 9 90 18
10
2 1 36 10 46 23
0, 2(5) = + = + = =
10 18 180 180 180 90
23
Odp. 0,2(5)=
90
Proste granice
Przykłady granic, których wynik jest oczywisty.
lim n = " dla 3n2, 5n3, 8n5, n7, . . . też "
n’!"
spis treści
lim (-n) = -" dla -3n2, -5n3, -8n5, -n7, . . . też -"
n’!"
wzory
1 -2 3 8 -9
symbole
lim = 0 dla , , , , . . . też 0
n’!"
n n n2 n n3
komentarze
n n
1 5
lim 2n = " dla 8n, 2n, 1 , , . . . też "
n’!"
3 4
n n
1 2 3 -4
lim = 0 dla - , (0, 3)n, , , . . . też 0
n’!"
2 3 5n 7n
Odgadywanie prostych granic
ciÄ…g granica
lim n = " 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . "
n’!"
spis treści
lim (-n) = " -1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . -"
n’!"
wzory
symbole
1 1 1 1 1 1 1
lim = 0 , , , , , , . . . 0
komentarze n’!"
n 1 2 3 4 5 6
lim 2n = " 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . . "
n’!"
n
1 1 1 1 1 1 1
lim = 0 , , , , , , . . . 0
n’!"
2 2 4 8 16 32 64
Granica ciÄ…gu
Oblicz granice:
2 4 3
lim lim lim
n’!" n’!" - 2n n2 + 5n
n’!"
n + 4 6
Oblicz granice:
spis treści
5n2 + 3n - 2 4n + 2 n5 - 2n3 + 5
lim lim lim
wzory
n’!" n’!" - 2n + 4 n3
n’!" - n + 2
2n2 + 5 7n2
symbole
Oblicz granice:
komentarze
2n + 4n 8n - 5 4n+1 + 5 · 3n
lim lim lim
n’!" n’!" n’!"
5n + 3n 2n + 6n 8 · 4n-1 - 7
Oblicz granice:
2
lim
n’!"
n + 4
RozwiÄ…zanie:
spis treści Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
2 2 1 2 2
komentarze
n2 =
lim = lim lim = lim · = 0 · = 0
4 4 4
n’!" n’!" n’!" n’!"
n + 4 n + n 1 + n 1 + 1
n n n n
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
4
lim
n’!" - 2n
6
RozwiÄ…zanie:
spis treści Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
4 4 4
=
lim = lim lim =
komentarze
6 2n 6
n’!" - 2n n - n - 2
n’!" n’!"
6
n n n
1 4 4
= lim · = 0 · = 0
6
n’!"
n - 2 -2
n
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
3
lim
n’!"
n2 + 5n
RozwiÄ…zanie:
spis treści Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
3 3 3
=
lim = lim n2 5n lim =
komentarze
5
n’!" n’!" n’!"
n2 + 5n n2 · 1 +
n2 · +
n
n2 n2
1 3 3
= lim · = 0 · = 0
n’!"
n2 5 1
1 +
n
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
5n2 + 3n - 2
lim
n’!"
2n2 + 5
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
komentarze
5n2 3n 2
3 2
n2 · + -
5n2 + 3n - 2 n2 n2 n2 5 + - 5 1
n n2
=
lim = lim 2n2 5 lim = = 2
5
n’!" n’!" n’!"
2n2 + 5 2 + 2 2
n2 · +
n2
n2 n2
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
4n + 2
lim
n’!" - 2n + 4
7n2
RozwiÄ…zanie:
spis treści Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
4n 2
n · +
4n + 2
komentarze
lim = lim 7n2 n n =
2n 4
n’!" - 2n + 4
n’!"
7n2
n2 · - +
n2 n2 n2
2
4 +
1 4
n
=
lim · = 0 · = 0
2 4
n’!"
n - + 7
7
n n2
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
n5 - 2n3 + 5
lim
n’!" - n + 2
n3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
2n3 5
n5 n5 - +
komentarze
n5 - 2n3 + 5 n5 n5 n5
lim = lim =
n 2
n’!" - n + 2
n’!"
n3
n3 n3 - +
n3 n3 n3
2 5
1 - +
1
n2 n5
=
lim n2 · = " · = "
1 2
n’!"
1 - + 1
n2 n3
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
2n + 4n
lim
n’!"
5n + 3n
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
2n 4n
komentarze n 2 n
4n + + 1
2n + 4n 4 1
4
4n 4n
lim = lim = lim 3 n = 0 · = 0
3n
n’!" n’!" n’!"
5n + 3n 5 1
5n 5n + 1 +
5n 5n 5
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
8n - 5
lim
n’!"
2n + 6n
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Wyciągamy przed nawias największą potęgę.
wzory
symbole
8n 5
komentarze n 5
8n - 1
8n - 5 8 -
1
8n 8n
lim = lim = lim n 8n = " · = "
6n
2
n’!" n’!" n’!"
2n + 6n 6 1
6n 2n + + 1
6n 6n 6
Korzystamy z prostych granic.
Oblicz granice:
4n+1 + 5 · 3n
lim
n’!"
8 · 4n-1 - 7
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Na początku rozkładamy składniki ułamka, a następnie wyciągamy przed nawias największą
potęgę.
wzory
symbole
4n 5·3n
4n ·4 +
4n+1 + 5 · 3n 4n · 4 + 5 · 3n
komentarze
4n 4n
=
lim lim = lim =
n’!" n’!" n’!" 7
8 · 4n-1 - 7 8 · 4n · 4-1 - 7
4n 8·4n·4-1 -
4n 4n
n
3
4 + 5
4
4
= lim = = 2
1 7
n’!"
8 · - 2
4 4n
Korzystamy z prostych granic.
Upraszczanie
Przykłady:
5x 3x2
= 5 = 3
x x2
spis treści
6x5 6x2 · x3 4x7 4x · x6
wzory
= =
= 6x3 = 4x6
symbole x2 x2 x x
komentarze
x3 x3 1 3x2 3x2 3
= =
= =
x5 x3 · x2 x2 x6 x2 · x4 x4
Upraszczanie
Przykłady:
5n 3n2
= 5 = 3
n n2
spis treści
6n5 6n2 · n3 4n7 4n · n6
wzory
= =
= 6n3 = 4n6
symbole n2 n2 n n
komentarze
n3 n3 1 3n2 3n2 3
= =
= =
n5 n3 · n2 n2 n6 n2 · n4 n4
Proste granice przy x ’! "
Przykłady granic, których wynik jest oczywisty.
lim x = " dla 2x, 5x2, 7x3, . . . też "
x’!"
spis treści
lim (-x) = -" dla -2x, -5x2, -7x3, . . . też -"
x’!"
wzory
1 1 5 7 9
symbole
lim = 0 dla , - , , - , . . . też 0
x’!"
x 2x x2 x3 x4
komentarze
Odgadywanie prostych granic przy x ’! "
x 1 2 3 4 ’! "
lim 2x = "
x’!"
2x 2 4 6 8 ’! "
spis treści
wzory
symbole
x 1 2 3 4 ’! "
lim (-2x) = -"
komentarze
n’!"
-2x -2 -4 -6 -8 ’! -"
x 1 2 3 4 ’! "
1
lim = 0
1 1 1 1 1
n’!"
2x
’! 0
2x 2 4 6 8
x 1 2 3 4 ’! "
5
lim - = 0
5 5 5
n’!"
x2
- -5 -5 - - ’! 0
x2 1 4 9 16
Proste granice przy x ’! -"
Przykłady granic, których wynik jest oczywisty.
nieparzyste
lim x = -" dla x3, x5, 2x7, . . . też -"
x’!-"
spis treści
parzyste
wzory
symbole
lim x2 = " dla x4, x6, 3x8, . . . też "
x’!-"
komentarze
1 1 1 2 3
lim = 0 dla - , , - , , . . . też 0
x’!-"
x x2 x3 x4 x5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]